SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

DIKTAT KULIAH

ALJABAR LINIER

Disusun oleh:

SYAMSYIDA ROZI, S.Si

SEKOLAH TINGGI ILMU KOMPUTER

DINAMIKA BANGSA

JAMBI

SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

1)      PERSAMAAN LINIER

Bentuk umum: a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + ... … + a_nx_n = b, dimana x_i adalah variable, a_i adalah suatu bilangan real sebagai koefisien dari variable x_i, dan b adalah konstanta.

Definisi solusi dari persamaan linier adalah: Sekumpulan nilai k₁, k₂, …, k_n, yaitu x₁ = k₁, x₂ = k₂, … , x_n = k_n, sedemikian sehingga a₁k₁ + a₂k₂ + a₃k₃ + … … + a_nk_n = b.

Solusi tersebut dapat ditulliskan dalam bentuk vector [k₁, k₂, … , k_n]

               

2)      SISTEM PERSAMAAN LINIER

Sistem Persamaan Linier adalah kumpulan dari persamaan-persamaan linier.

Bentuk umum:

, dimana a_ij adalah koefisien, dan b_n adalah konstanta.

Bentuk itu dapat dituliskan dalam bentuk matriks: AX = B, yaitu:

Matriks KONSTANTA

Banyak baris= banyak persamaan Banyak kolom = 1

Matriks VARIABEL

Banyak baris = banyak variabel Banyak kolom = 1

Matriks KOEFISIEN

Banyak baris= banyak persamaan Banyak kolom = banyak variabel

                                                                  A                   X         B

Penulisan matriks AX = B dapat disederhanakan menjadi bentuk [A | B], dan bentuk ini disebut augmented matriks yaitu:

.

Definisi solusi dari sistem persamaan linier (SPL) adalah: nilai x_i dengan i = 1 sampai n, yang memenuhi semua persamaan dalam sistem tersebut.

Solusi dari sistem persamaan linier bisa jadi:

ü  Tidak ada solusi Þ maka dikatakan SPL tidak konsisten

ü  Ada, yaitu hanya satu solusi Þ maka dikatakan SPL konsisten

ü  Ada, yaitu banyak solusi atau tak hingga banyaknya solusi Þ maka dikatakan SPL konsisten

SPL : AX=B

SPL Homogen : AX = 0

Dengan tak hingga banyaknya solusi

SPL non-homogen: AX=B; B¹0

SolusiTRIVIAL: jika satu-satunya solusi adalah semua variable bernilai 0

Hanya dengan satu solusi

Selalu memiliki solusi konsisten

Solusi NON-TRIVIAL: jika ada tak hingga banyaknya solusi selain 0

Biasanya pada SPL yang memiliki variabel lebih banyak dari persamaan

solusi konsisten

solusi tidak konsisten

Biasanya terjadi pada SPL yang  banyak persamaan lebih banyak dari variabel

 

Ada 5 cara yang akan dibahas untuk menemukan solusi dari SPL, baik untuk SPL homogen, maupun untuk solusi non-homogen:

1)      Metode Substitusi

Yaitu dengan membuat salah satu variable menjadi tergantung pada variable lainnya melalui salah satu bentuk persamaan linier, kemudian variable tersebut disubstitusikan ke persamaan yang lain dalam SPL tersebut.

2)      Metode Eliminasi

Yaitu dengan mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variable dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan persamaan yang satu dengan persamaan lainnya. Untuk mengeliminasi varíable tersebut, perlu untuk membuat koefisien dari variable yang akan dieliminasikan menjadi sama.

3)      Aturan Cramer

      Yaitu x_k = ,

Kolom ke-k

D_k = det , (anggota kolom ke-k diganti dengan matriks konstanta)

      D_A = det (A) atau determinan dari matriks koefisien.

4)      Metode Eliminasi Gauss

Yaitu dilakukan dengan mengubah augmented matriks menjadi matriks segitiga atas. Dengan metode ini, solusi dari SPL dimulai dengan membaca matriks segitiga atas dari baris terbawah; yaitu dari baris terbawah akan kita temukan nilai untuk variable terakhir.

5)      Metode Elminasi Gauss-Jordan

Merupakan pengembangan dari metode eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan, konsepnya adalah mengubah matriks augmented menjadi matriks satuan/ identitas. Dengan metode ini, solusi akan dibaca mulai dari baris teratas pada matriks; dari baris pertama akan ditemukan nilai untuk variabel pertama, dari baris ke-2 akan ditemukan nilai untuk variabel ke-2, dan seterusnya.

.

3)      SISTEM PERSAMAAN LINIER NON-HOMOGEN

Bentuk umum:

, dimana b_i ¹ 0.

Solusi dari SPL tersebut adalah semua nilai x_i yang memenuhi SPL di atas.

Contoh 1:

Temukan nilai x dan y yang memenuhi SPL berikut:

x + y = 2

3x + 2y = 5

Jawab:

1)      Metode Substitusi

Pers (1) : x + y = 2 Þ x = 2 – y     … pers (1)

Pers (2) : 3x + 2y = 5

Þ substitusi pers (1) ke pers (2) menjadi

3(2 – y) + 2y = 5 Þ 6 – 3y + 2y = 5 Þ 6 – y = 5 Þ -y = 5 – 6 = -1 Þ y = 1

Substitusi y = 1 ke pers (1) sehingga x = 2 – y = 2 – 1 = 1. Jadi x = 1.

Jadi solusinya adalah x = 1 dan y = 1.

2)      Metode Eliminasi

Dengan mengeliminasi variable x, maka samakan koefisien dari x.

x + y = 2                    x 3 menjadi 3x + 3y = 6

3x + 2y = 5                x 1 menajdi 3x + 2y = 5

                                                               y = 1

Diperoleh y = 1, maka ganti variable y pada pers (1) menjadi 1

Þ x + y = 2 Þ x + 1 = 2 Þ x = 1.

Jadi solusinya adalah x = 1 dan y = 1.

3)      Aturan Cramer

Koefisien x

Koefisien y

Matriks Koefisien (A) untuk SPL itu adalah : , dan matriks Konstanta (B) = .

D_A = Determinan dari matriks A, yaitu =1.2 – 3.1 = 2 – 3 = -1

Karena kolom 1 pada matriks A adalah koefisien untuk variabel x, maka D_x diperoleh dengan mengubah anggota kolom 1 pada matriks A yang diganti dengan matriks konstanta B.

D_x =  = 2.2 – 1.5 = 4 – 5 = -1

Karena kolom 2 pada matriks A adalah koefisien untuk variabel y, maka D_y diperoleh dengan mengubah anggota kolom 2 pada matriks A yang diganti dengan matriks konstanta B.

D_y =  = 1.5 – 2.3 = 5 – 6 = -1

Maka x = = ,

dan y = =  = 1

Dengan demikian solusinya adalah x = 1 dan y = 1.

4)      Metode Eliminasi Gauss

Augmented matriks dari SPL adalah : .

Persamaan 1

Membentuk matriks segitigas atas dengan OBE:

Koefisien x

Koefisien y

Persamaan 2

 b₂ – 3b₁ ®

Maka dari baris ke-2 diperoleh -y = -1 sehingga y = 1

Dari baris ke-1 diperoleh x + y = 2 Þ x + 1 = 2 Þ x = 2 – 1 = 1.

Dengan demikian diperoleh x = 1 dan y = 1

5)      Metode Eliminasi Gauss Jordan

Augmented matriks dari SPL adalah : .

Persamaan 1

Persamaan 2

Membentuk matriks satuan dengan OBE:

 b₂ – 3b₁ ® -b₁ -b₂

Koefisien x

Koefisien y

Maka dari baris ke-1 diperoleh x = 1 , dan dari baris ke-2 diperoleh y = 1.

Contoh 2:

Cari solusi dari SPL berikut:

2x + y + z = 4 … pers (1)

x – y – z = -1 … pers (2)

x + y + 2z = 4 … pers (3)

Jawab:

1)      Metode Substitusi

Pers (1) : 2x + y + z = 4 Þ y = 4 – 2x – z … pers (1)

*) Pers (2) : x – y – z = -1 Þ substitusi y pada pers (1) ke pers (2), menjadi :

x – (4 – 2x – z) – z = -1 Þ x – 4 + 2x + z – z = -1 Þ 3x – 4 = -1 Þ 3x = 3 Þ x = 1.

*) Substitusi x = 1 ke pers (1) y = 4 – 2x – z Þ y = 4 – 2.1 – z Þ y = 4 – 2 – z Þ y = 2 – z …pers (4).

*) Substitusi x = 1 dan pers (4) ke pers (3) menjadi

x + y + 2z = 4 Þ 1 + (2 – z) + 2z =4 Þ 1 + 2 – z + 2z = 4 Þ 3 + z = 4 Þ z = 1

*) Substitusi x = 1 dan z = 1 ke pers (1) : y = 4 – 2x – z Þ y = 4 – 2.1 – 1 = 4 – 2 – 1 = 1 Þ z = 1.

Jadi solusinya adalah x = 1, y = 1 dan z = 1.

2)      Metode Eliminasi

*) Step 1: menghilangkan variable y yaitu dengan menjumlahkan pers (1) dan pers (2).

Pers (1) 2x + y + z = 4      

+

Pers (2) x – y – z = -1

            3x            = 3         Þ maka diperoleh x = 1.

*) Step 2 : Ganti variable x dengan 1 pada pers (2) dan pers (3), kemudian jumlahkan pers (2) dan (3).

Pers (2) x – y – z = -1 menjadi 1 – y – z = -1 Þ -y – z = -2

+

Pers (3) x + y + 2z = 4 menjadi 1 + y + 2z = 4 Þ y + 2z = 3

                                                                                      z = 1        Þdiperoleh z = 1

*) Step 3: Ganti variable x = 1 dan variable z = 1 pada salah satu persamaan untuk menemukan nilai y. Misalnya lakukan pada persamaan 2.

Pers (2) x – y – z = -1 menjadi 1 – y – 1 = -1 Þ -y = -1 Þ y = 1.

Jadi solusinya adalah x = 1, y = 1 dan z = 1.

3)      Aturan Cramer

Matriks Koefisien A dari SPL itu adalah : , dan matriks konstanta B = .

D_A = det(A) =  =

= (2-.(-1).2 + 1.(-1).1 + 1.1.1) – (1.1.2 + 2.(-1).1 + 1.(-1).1]) = (-4 + (-1) + 1) – (2 + (-2) + (-1))

= 4 – (-1) = -3.

Karena kolom 1 pada matriks A adalah koefisien untuk variabel x, maka D_x diperoleh dengan mengubah anggota kolom 1 pada matriks A yang diganti dengan matriks konstanta B.

D_x  =  =  

=  = (-8+(-4)+(-1)) – ((-2)+(-4)+(-4)) = (-13) – (-10) = -3

Karena kolom 2 pada matriks A adalah koefisien untuk variabel y, maka D_y diperoleh dengan mengubah anggota kolom 2 pada matriks A yang diganti dengan matriks konstanta B.

D_y =  =  

=  = (-4+(-4)+4)) – (8+(-8)+(-1))

= (-4) – (-1) = -3

Karena kolom 3 pada matriks A adalah koefisien untuk variabel z, maka D_z diperoleh dengan mengubah anggota kolom 3 pada matriks A yang diganti dengan matriks konstanta B.

D_z =  =  

=  = (-8+(-1)+4) – (4+(-2)+(-4))

= (-5) – (-2) = -3

Dengan demikian,   x = = 1

                              y = = 1

                              z = = 1

4)      Metode Eliminasi Gauss

Augmented matriks dari SPL itu adalah .

Membentuk matriks segitiga atas:

Koefisien x

Koefisien y

Koefisien z

-3b₃ – b₂ .

Dari baris ke-3, diperoleh -6z = -6, maka z = -1.

Dari baris ke-2 diperoleh -3y – 3z = -6 ® (ganti z dengan 1), maka -3y – 3.1 = -6 ® -3y = -3, sehingga y = 1.

Dari baris ke-1 diperoleh 2x + y + z = 4, kemudian ganti y = 1 dan z = 1, maka 2x + 1 + 1 = 4, sehingga 2x = 2 dan x = 1.

Jadi diperoleh x = 1, y = 1 dan z = 1. 

5)      Metode Eliminasi Gauss-Jordan

Augmented matriks dari SPL itu adalah .

Membentuk matriks satuan:

Koefisien x

Koefisien y

Koefisien z

-3b₃ – b₂  -3b₁ – b₂        .

Dari baris ke-1, diperoleh x = 1, dari baris ke-2, diperoleh y = 1, dan dari baris ke-3 diperoleh z = 1.

4)      SISTEM PERSAMAAN LINIER HOMOGEN

Yaitu jika nilai konstanta, yaitu b_i, atau vektor B, bernilai 0, sehingga persamaan menjadi AX = 0:

 

Solusi dari SPL homogen ada 2, yaitu:

·        Solusi Trivial, adalah jika solusi dari SPL adalah 0, atau nilai semua variable x_i = 0

·        Solusi Non-trivial, adalah jika ada solusi lain selain nol.

Jika SPL homogen memiliki lebih banyak variabel dari pada persamaan, maka SPL itu akan memiliki tak hingga banyaknya solusi.

Contoh:

a)      Cari solusi dari sistem persamaan:

x₁ + x₂ – x₃ = 0

2x₁ + 3x₂ – x₃ = 0

Jawab:

Solusi akan ditemukan dengan mengadopsi cara-cara pada metode eliminasi Gauss-Jordan

x2 + x3 = 0 Þ x2 = -x3

x1 – 2x3 = 0 Þ x1 = 2x3

=  ®augmented matriks:    b₂ – 2b₁ ®  b₁ – b₂ ®

Dengan mengganti x₃ = t, maka solusi umum untuk SPL itu adalah : x₁ = 2t, x₂ = -t dan x₃ = t.

Solusi khususnya adalah dengan mengganti nilai t sesuai dengan yang kita mau. Beberapa solusi khusus:

v  Jika diambil t = -2, maka x₁ = 2t = 2.(-2) = -4, x₂ = -t = -(-2) = 2 dan x₃ = t = -2.

Jadi salah satu bentuk solusi khusus adalah x₁ = -4, x₂ = 2 dan x₃ = -2

v  Jika diambil t = 1, maka x₁ = 2t = 2.1 = 2, x₂ = -t = -1 dan x₃ = t = 1

Jadi bentuk solusi khusus lainnya adalah x₁ = 2, x₂ = -1 dan x₃ = 1

v  Jika diambil t = 10, maka x₁ = 2t = 2.10 = 20, x₂ = -t = -10 dan x₃ = t = 10

Jadi bentuk solusi khusus lainnya adalah x₁ = 20, x₂ = -10 dan x₃ = 10

Jadi ada banyak solusi atau tak hingga banyaknya solusi yang memenuhi SPL ini karena kita bisa memilih sembarang nilai t Þ dikatakan SPL ini memiliki solusi non-TRIVIAL.

b)      Cari solusi dari SPL:

x + y = 0

3x + y = 0

Jawab:

Kita akan menemukan solusi dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. Augmented matriks dari SPL itu adalah  

Lakukan OBE untuk mengubah matriks itu menjadi matriks identitas/ matriks satuan:

 b₂ – 3b₁  -2b₁ – b₂ 

Maka dari baris pertama diperoleh x = 0, dan dari baris kedua y = 0.

Dengan demikian satu-satunya solusi SPL ini adalah x = 0 dan y = 0, sehingga dikatakan SPL ini memiliki solusi TRIVIAL.