MATRIKS DAN OPERASINYA

DIKTAT KULIAH

ALJABAR LINIER

Disusun oleh:

SYAMSYIDA ROZI, S.Si

SEKOLAH TINGGI ILMU KOMPUTER

DINAMIKA BANGSA

JAMBI

BAB I

MATRIKS DAN OPERASINYA

1)      PENGERTIAN

v Matriks adalah himpunan scalar (bilangan riil atau konpleks) yang disusun berjajar secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom. Jadi anggota matriks adalah bilangan-bilangan tersebut.

v Batas matriks dinotasikan dengan , , atau .

v Matriks berukuran m x n yaitu  

Artinya: matriks tersebut terdiri dari m baris dan n kolom.

Anggota a₁₁ artinya anggota pada baris pertama dan kolom pertama.

Anggota a₂₁ artinya anggota pada baris ke-2 dan kolom pertama.

Anggota a_m2 artinya anggota pada baris ke-m dan kolom kedua.

v  Matriks A_mxn artinya matriks A berukuran m x n yang terdiri dari m baris dan n kolom.

v  Contoh:

ü  Ukuran matriks di atas adalah 3 x 4

ü  Anggota a₂₂ = 2, yaitu anggota pada baris ke-2 dan kolom ke-2.

ü  Anggota a₃₁ = 3, yaitu anggota pada baris ke-3 dan kolom ke-1.

ü  Anggota a₂₄ = -1, yaitu anggota  pada baris ke-2 dan kolom ke-4

v  Dua matriks dikatakan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan anggota yang berpadanan sama.

2)      OPERASI PADA MATRIKS

2.1)            Penjumlahan matriks

Penjumlahan matriks artinya adalah jumlah dari anggota-anggota yang berada pada posisi (baris dan kolom) yang sama. Syarat melakukan penjumlahan/ pengurangan dari beberapa matriks adalah ukuran dari matriks yang dijumlahkan/ dikurangkan harus sama.

Sifat-sifat penjumlahan antara matriks (asumsikan A, B dan C adalah matriks berukuran sama):

v  Sifar Komutatif : A + B = B + A

v  Sifat Asosiatif A + (B + C) = (A + B) + C

Contoh:

A =  dan B =

Matriks A dan B berukuran sama, yaitu 2 x 3, maka kedua matriks itu dapat dijumlahkan,

A + B =  +  =  =

2.2)            Perkalian skalar dengan matriks

Misalkan c adalah suatu skalar yang akan dikalikan dengan matriks A, maka cA artinya adalah mengalikan skalar c dengan anggota-anggota pada matriks, ukuran matriks tidak akan berubah.

Sifat perkalian skalar dengan matriks adalah : c(A + B) = cA + cB

Ex 1) c = 2, dan matriks A = , maka cA = 2.  =  =

Ex 2) A = , dan B = , dan c = -3, maka tentukan c(A+B) dan cA+cB.

*) c(A+B) = -3 = -3 = -3 = =

*) cA+cB = -3 +(-3) = + = + = =

Dengan demikian c(A+B) = cA+cB.

2.3)            Perkalian antar matriks (perkaliam antara matriks dengan matriks)

Syarat perkalian antar matriks adalah : banyaknya kolom pada matriks pertama = banyaknya baris pada matriks kedua.

Contoh:

1)      Perkalian matriks A_3x2B_2x4 dapat dilakukan karena banyaknya kolom pada matriks A = banyaknya baris pada matriks B, yaitu 2. Hasil perkalian dari matriks itu adalah suatu matriks yang berukuran 3 x 4.

2)      Perkalian matriks A_1x2B_1x4 tidak dapat dilakukan karena banyaknya kolom pada matriks A yaitu 2 tidak sama dengan banyaknya baris pada matriks B, yaitu 1.

3)      Perkalian matriks A_1x3B_3x1 dapat dilakukan karena banyaknya kolom pada matriks A = banyaknya baris pada matriks B, yaitu 3. Hasil perkalian dari matriks itu adalah suatu matriks yang berukuran 1 x 1.

4)      Matriks A =  dan matriks B = , maka perkalian dari matriks A dan B dapat dilakukan, karena matriks A berukuran 1 x 3 dan matriks B berukuran 3 x 1 yang menunjukkan bahwa banyaknya kolom pada matriks A= banyaknya baris pada matriks B, yaitu 3. Perkalian matriks A dan B akan menghasilkan matriks berukuran 1 x 1. Yaitu AB = = = = .

5)      Matriks A =  dan matriks B = , maka perkalian matriks A dan B dapat dilakukan karena matriks A berukuran 3 x 2 dan matriks B berukuran 2x1, yang menunjukkan banyaknya kolom pada matriks A = banyaknya baris pada kolom B = 2. Perkalian 2 matriks tersebut akan menghasilkan matriks berukuran 3 x 1.

AB =  =  =  =  .

Beberapa hukum pada perkalian adalah:

v  A(B + C) = AB + AC

v  A(BC) = (AB)C

v  AB ¹ BA

3)      TRANSPOSE DARI SUATU MATRIKS

Þ dinotasikan dengan A^T, artinya adalah dengan menuliskan anggota pada baris ke-i pada matriks A sebagai anggota kolom ke-i pada matriks A^T. Jika matriks A berukuran m x n, maka matriks A^T berukuran n x m.

Contoh:

A =  berukuran 2 x 3, maka matriks A^T =  berukuran 3 x 2.

4)      BEBERAPA JENIS MATRIKS SPECIAL

4.1)      Matriks bujur sangkar, yaitu matriks yang memiliki banyaknya baris = banyaknya kolom.

            Contoh : A =  adalah matriks bujursangkar berukuran 2.

4.2)      Matriks 0, yaitu matriks yang semua anggotanya adalah 0.

4.3)      Matriks diagonal, yaitu matriks bujursangkar yang anggota diluar diagonal utama adalah 0

            Contoh: A =

4.4)            Matriks Identity (matriks satuan), yaitu matriks bujursangkar yang anggota pada diagonal utama bernilai 1 dan di luar diagonal utama bernilai 0. Matriks ini biasanya selalu dinotasikan dengan I.

Contoh : I =  

4.5)            Matriks Segitiga bawah, yaitu matriks bujursangkar dimana anggota di atas diagonal utama bernilai 0.

Contoh : A =

4.6)            Matriks Segitiga atas, yaitu matriks bujursangkar ; anggota di bawah diagonal utama bernilai 0.

Contoh : A =

4.7)            Matriks Simetris, yaitu matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.

Contoh : A = , maka A^T = . Perhatikan bahwa:

*) anggota pada baris 1 matriks A = anggota kolom 1 pada matriks A^T

*) anggota pada baris 2 matriks A = anggota kolom 2 pada matriks A^T

*) anggota pada baris 3 matriks A = anggota kolom 3 pada matriks A^T

Contoh :

Jika B = , maka tentukan nilai a, b dan c sehingga matriks B menjadi matriks yang simetris.

Jawab:

a adalah anggota baris 2 kolom 1, maka supaya jadi simetris, nilai a harus sama dengan anggota pada baris 1 kolom 2, yaitu 4. Sehingga a = 4

b adalah anggota baris 1 kolom 3, maka supaya jadi simetris, nilai b harus sama dengan anggota pada baris 3 kolom 1, yaitu -3. sehingga b = -3

c adalah  anggota baris 3 kolom 2, maka supaya jadi simetris, nilai c harus sama dengan anggota pada baris 2 kolom 3, yaitu 1, sehingga c = 1

5)      OPERASI ELEMENTER PADA BARIS DAN KOLOM DARI MATRIKS

5.1)            Penukaran baris

Contoh :  b₁ « b₃

5.2)            Penukaran kolom

Contoh :  k₂ « k₃

5.3)            Mengalikan suatu baris dengan suatu skalar c

Contoh : ® 3b₂  =

5.4)            Mengalikan suatu kolom dengan suatu skalar c

Contoh :  ® 3k₂  =  

5.5)            Menambahkan/ mengurangkan suatu baris dengan c kali baris yang lainnya

Contoh :  ® b₂ – 3b₃ =

5.6)            Menambahkan/ mengurangkan suatu kolom dengan c kali kolom yang lainnya

Contoh :  ® k₁ + 2k_3­  =