Pengertian Determinan

DIKTAT KULIAH

ALJABAR LINIER

Disusun oleh:

SYAMSYIDA ROZI, S.Si

SEKOLAH TINGGI ILMU KOMPUTER

DINAMIKA BANGSA

JAMBI

DETERMINAN

1)      PENGERTIAN

Semua matriks bujursangkar A selalu dihubungkan dengan determinan, yang dinotasikan dengan det(A).

Untuk matriks bujursangkar A berukuran n, determinan dari matriks tersebut didefinisikan sebagai jumlah dari hasil kali dari n! anggota A tanpa ada pengambilan anggota dari baris/ kolom yang sama.

Untuk matriks bujur sangkar berordo 2, determinan adalah:  =  ad – bc

Contoh:

A = , maka determinan A =  = 1.3 – 2.4 = 3 – 8 = -5.

2)      SIFAT-SIFAT DETERMINAN

2.1)            Determinan suatu matriks = determinan dari matriks transposenya Þ det (A) = det (A^T)

Contoh:

A = , maka Det (A) = 1.3 – 2.4 = 3 – 8 = -5

A^T = , maka Det (A^T) = 1.3 – 4.2 = 3 – 8 = -5

2.2)            Tanda determinan berubah jika dua baris/ kolom ditukar tempatnya

Contoh:

A = , maka Det (A) = 1.3 – 2.4 = 3 – 8 = -5

Jika baris 1 dan 2 pada matriks A ditukar menjadi , maka determinan = 2.4 – 1.3 = 8 – 3 = 5. (tanda determinan yang awalnya negatif (-) berubah menjadi positif karena pertukaran baris)

2.3)            Jika anggota 2 baris/ 2 kolom dari suatu matriks sama, maka determinan matriks = 0

Contoh:

A =  = 1.4 – 1.4 = 4 – 4 = 0.

2.4)            Jika terdapat baris/ kolom yang anggotanya berkelipatan, maka determinan = 0.

Contoh:

A = , maka determinan = 1.6 – 2.3 = 6 – 6 = 0. (perhatikan bahwa baris ke-2 adalah 2 kali baris pertama)

2.5)            Nilai determinan menjadi c kali jika suatu baris/ kolom dikali c (skalar)

Contoh:

A = , Det (A) = 1.3 – 2.4 = 3 – 8 = -5

Jika baris 2 dikali 4, maka matriks menjadi , dan determinannya = 1.12 – 8.4 = 12 – 32 = -20. (hasil ini merupakan 4 kali determinan A, yaitu -20 = 4.(-5)

2.6)            Jika salah satu baris/ kolom dari suatu matriks anggotanya 0, maka determinan=0.

Contoh:

A = , maka determinan = 1.0 – 0.4 = 0 – 0 = 0.

2.7)            Harga determinan tidak berubah jika baris/kolom ke-i ditambah dengan c kali baris/kolom ke-j.
Contoh:

A = , Det (A) = 1.3 – 2.4 = 3 – 8 = -5.

Misalnya dilakukan operasi baris elementer, yaitu baris ke-2 ditambah 3 kali baris ke-1 (b₂ + 3b₁) sehingga matriks menjadi = = 1.15 – 5.4 = 15 – 20 = -5.

Jadi determinan matriks A = determinan matriks setelah dilakukan operasi baris elementer. Atau dengan kata lain, tidak terjadi perubahan determinan.

3)      MINOR DAN KOFAKTOR

Minor dari anggota a_ij dari  suatu matriks dinotasikan dengan , yaitu determinan dari suatu matriks dengan menghilangkan anggota pada baris ke-i dan kolom ke-j terlebih dulu. Sedangkan kofaktor dari anggota a_ij adalah .  Atau K_{ij ­} =

Minor dan kofaktor adalah suatu skalar/ konstanta bilangan.

Misal A adalah matriks berukuran 3 x 3, yaitu , maka :

Ø  minor dari anggota a₂₃ , dinotasikan dengan M_23, adalah determinan dari matriks tersebut dengan menghilangkan anggota pada baris ke-2 dan kolom ke-3 terlebih dulu, menjadi

Ø  dan kofaktor dari anggota a₂₃ adalah (-1)²⁺³M₂₃ = (-1)⁵ M₂₃ = - M_23.

Contoh:

A = .

v  Minor dari anggota a₂₁, yaitu  adalah determinan dari matriks tersebut dengan menghilangkan anggota pada baris ke-2 dan kolom ke-1 terlebih dulu, menjadi =  = 3.1 – 9.4 = 3 – 36 = −33.

Dan kofaktor dari anggota a₂₁ adalah  =  (-33) = (-1)(-33) = 33.

v  Minor dari anggota a₂₂, yaitu  adalah determinan dari matriks tersebut dengan menghilangkan anggota pada baris ke-2 dan kolom ke-2 terlebih dulu, menjadi =  = 2.1 – 8.4 = 2 – 32 = -30.

Dan kofaktor anggota a₂₂ adalah  =  (-30) = (1)(-30) = -30.

4)      MENGHITUNG DETERMINAN

4.1)            Menggunakan definisi determinan.

Khusus untuk matriks berukuran 3x3, perhitungan determinan yang menggunakan definisi dapat diperlihatkan dengan suatu cara yang disebut metode Sarrus.

Contoh:

Hitung determinan dari matriks A = .

Dengan cara definisi atau yang diperlihatkan dengan metode Sarrus, perhitungan determinan beruukuran 3x3 dilakukan sebagai berikut:

 =  = (1.3.7 + 2.4.1 + 3.2.5) – (2.2.7 + 1.4.5 + 3.3.1) =

(21+ 8 + 30) – (28 + 20 + 9) = 59 – 57 = 2

4.2)            Mengekspansi secara baris atau kolom dengan menggunakan minor dan kofaktor

Contoh:

            Hitung determinan dari matriks A = .

Dengan mengekspansi berdasarkan baris 1 (anggota pada baris 1 adalah a₁₁, a₁₂, a₁₃), maka perhitungan determinan dirumuskan dengan = a₁₁.K₁₁ + a₁₂.K₁₂ + a₁₃.K₁₃

            K₁₁ = Kofaktor anggota a₁₁ =  = (-1)² (3.7 – 5.4) = 1.(21 – 20) = 1.1 = 1

            K₁₂ = Kofaktor anggota a₁₂ =  = (-1)³ (2.7 – 1.4) = -1.(14 – 4) = -1.10 = -10

            K₁₃ = Kofaktor dari anggota a₁₃ =  = (-1)⁴ (2.5 – 1.3) = 1.(10 – 3) = 1.7 = 7

            Maka determinan = a₁₁.K₁₁ + a₁₂. K₁₂ + a₁₃. K₁₃ = 1.1 + 2.( -10) + 3.7 = 1 – 20 + 21 = 2.

Jika mengekspansi berdasarkan kolom 2 (anggota pada kolom dua adalah a₁₂, a₂₂, a₃₂), maka perhitungan determinan dirumuskan dengan = a₁₂.K₁₂ + a₂₂.K₂₂ + a₃₂.K₃₂

4.3)            Mengubah matriks menjadi matriks segitiga bawah atau segitiga atas.

Determinan dari sembarang matriks bujur-sangkar dapat ditemukan dengan mengubah matriks tersebut menjadi matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah, yaitu dengan melakukan operasi baris elementer. Sifat-sifat determinan harus diperhatikan saat melakukan operasi baris elementer yang akan berpengaruh terhadap nilai determinan itu sendiri. Determinan dari suatu matriks segitiga atas ataupun matriks segitiga bawah dapat dihitung dengan mengalikan anggota-anggota pada diagonal utamanya saja.

Contoh:

Hitung determinan dari matriks A = .

a) mengubah menjadi matriks segitiga atas

®1.1. -b₃ – 3b₂ ®1.1.(-1).  =

(-1). = (-1).( -2) = 2

b) mengubah menjadi matriks segitiga bawah

  ®1.1.   ® 1.1.(-1) = (-1).1.(-1) .(2) = 2

5)      MATRIKS SINGULAR DAN NON-SINGULAR

Matriks Singular adalah matriks yang memiliki determinan = 0. Sedangkan matriks non-singular adalah matriks yang determinannya ¹ 0.